Materiały na Wielki Post

Wielki Post I                       Wielki Post II                       Wielki Post III                       Kazania Pasyjne                      
Rekolekcje Wielkopostne                       Drogi Krzyżowe                       Rekolekcje Wielkopostne

16 października 2008

znaczenie twierdzeń Gödla dla niemożliwości stworzenia TOE


Pierwsze z nich mówi: „System albo jest zupełny, albo spójny. System zupełny jest sprzeczny wewnętrznie, albo system nie musi być sprzeczny, lecz wówczas istnieją zdania, których prawdziwości nie da się wywieść z aksjomatów i twierdzeń rozważanego systemu formalnego, tzn. system jest niezupełny”. Co oznacza, że albo jesteśmy w stanie zbudować taki system, w którym można dowodzić prawdziwości wszystkich zdań takiego systemu, jednak wówczas istnieje w systemie pewne prawdziwe zdanie P, którego zaprzeczenie ~P również jest prawdziwe i wtedy system jest sprzeczny. Albo system jest niesprzeczny, ale wtedy w systemie istnieją zdania, których prawdziwości nie można udowodnić z „wewnątrz” i dla udowodnienia ich prawdziwości musimy wyjść poza system.

Drugie twierdzenie o niedowodliwości spójności jest konsekwencją poprzedniego. Głosi ono, iż nie da się dowieść, w ramach tego systemu, spójności żadnego systemu formalnego zawierającego arytmetykę liczb naturalnych. Aby taki dowód przeprowadzić, niezbędny jest system wyższego rzędu, którego spójności w ramach niego samego również nie da się dowieść – i tak ad infinitum.